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カテゴリー「731 数学」の13件の記事

2015年6月 7日 (日)

ブラーム数列

整数の羅列も数列には違いないが、面白味には欠ける。そこそこの定義に従って粛々と連なる数字の列は大変に興味深い。

  1. 素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97etc
  2. フィボナッチ数 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89etc
  3. 完全平方数 1,4,9,16,25,36,49,64,81etc

などなど。私の大事な数列は下記。

ブラーム数列 8,18,25,26,34,36,38,40,51,60,67,78,87,88,99,100,101,108,111,114,115,120

以上だ。末尾に「etc」は付かない。無限ではないからだ。何を隠そうブラームスの室内楽の作品番号である。なんだか不規則で面白い。交響曲だと少な過ぎて数列っぽくない。

歌曲 3,6,7,14,19,32,33,43,44,46,47,48,49,57,58,59,63,69,70,71,72,84,85,86,94,95,96,97,105,106,107,121

ピアノ独奏曲 1,2,5,9,10,,21,24,35,76,79,116,117,118,119

独唱歌曲やピアノ曲はそれなりに不規則で面白い。

2010年4月18日 (日)

虚数

4月16日と17日に相次いで「指名手配」と「追加手配」をアップした。ブラームスに頻発する「poco f」「sotto voce」「mezza voce」がドヴォルザークには見当たらないという趣旨だ。さすがは公開捜査だ。さっそく「mezza voce」が発見された。この調子で全部見つかると嬉しい。情報提供に感謝する次第である。

さて数学の話だ。中学に入るとすぐ数直線を習う。整数、自然数、負の数、有理数などの理解を深めるためだ。循環小数、無理数など厄介な概念ではあっても、数直線上での大体の位置はイメージ出来る。この数直線の概念では、どうにもならなくなるのが虚数だ。一般に「i」をもって表される。二乗して「-1」になる数だ。数直線上での位置をイメージ出来ない。

数直線をダイナミクス直線に置き替える。一本の直線上に目盛りを付け、左から順に「ppp」「pp」「p」「mp」「mf」「f」「ff」「fff」と書き記せばたちまち出来上がりだ。作曲家によっては「ffff」「pppp」なども加えなければなるまい。目盛りは必ずしも等間隔とは限らない。音楽家たるもの皆、独自の基準を持っていると申しても良いだろう。過去の西洋音楽の伝統に照らして、大まかな合意はあるものと推定出来るが、厳密な話をすれば作曲家毎、作品毎、演奏家毎に全部違うくらいの覚悟は要ると思われる。

ドヴォルザークに「poco f」が見当たらない現象に接して、私が思い出したのが「虚数」だ。ドヴォルザークは自らのダイナミクス直線上にそれをイメージ出来ないということなのだと思う。ト短調ピアノ四重奏の管弦楽版を見る限り、おそらくシェーンベルクもイメージ出来ていない。

ブラームスにはイメージ出来ていることは確実だ。だからこそ私ごときがブログや著書で大騒ぎする意味がある。

2010年3月15日 (月)

直線上のプラハ

現在のチェコ共和国の首都だ。東西冷戦の時代にはチェコスロヴァキア共和国の首都だった。チェコスロヴァキアはいわゆる東側陣営だったから、その首都プラハには東というイメージがつきまとう。ところが、実際は私のイメージよりは相当西に位置する。経度で申せばウィーンよりも西なのだ。

最近のめりこんでいるドヴォルザークの故郷ネラホセヴェスはプラハに近い。立身出世を遂げて以降、ドヴォルザークの本拠地はプラハだったと考えていい。1879年秋ブラームスはヨアヒムと連れだってプラハを訪れる。演奏旅行だ。このときのブラームスには演奏の他にドヴォルザークとの対面という目的があった。もちろん対面は実現した。一部の伝記ではブラームスがジトナー通りのドヴォルザーク家を訪れたと書かれている。

最近ドヴォルザークラブを隠そうともしないブログ「ブラームスの辞書」の管理人が驚喜するような偶然に巡り会った。長男と地図を見ていて偶然発見した。長男はドイツ3大Bの故郷、アイゼナハ、ボン、ハンブルクを直線で結ぶと、アイゼナハを頂点とする直角三角形になると気付いたキレ者だ。その同じノリが今回も実を結んだ。

欧州の地図を広げて欲しい。ブラームスの故郷ハンブルクから、最期の地ウィーンに向けて直線を引く。すると驚いたことにドヴォルザークゆかりのプラハが、その直線上に乗って来るのだ。

いかにも私好みの偶然だ。長男よでかした。今日は、18歳の誕生日だ。

2009年9月30日 (水)

ある方程式

以前にも話題にした茂木大輔先生のご著書「音大進学・就職塾」で、有名作曲家の代表作品について、曲中に出現する見せ場が、管楽器&コントラバスの立場から手際よく列挙されている。ブラームスについての記述が愛情溢れるもので思わず即買いしたと述べた。

当然のことながら、ドヴォルザークにも言及がある。ドヴォルザークと標記するのは古いという耳の痛い指摘は思い切りスルーだ。交響曲第8番と9番それにチェロ協奏曲が取り上げられている。ブラームス同様の愛情ある記述だ。

注目すべきはドヴォルザークの位置付けだ。「ブラームスとワーグナーを足してスラブで味付けた」と表現なさっている。「味付け」がかけ算なのか自信はないが、

ドヴォルザーク=(ブラームス+ワーグナー)スラブ

ということか。この方程式が成り立つならばドヴォルザークをスラブで割って、そこからブラームスを引けばワーグナーが求められるのだが、そのためには「スラブ」とはなんぞやも問題になってくる。

ワーグナーやスラブについても勉強しなければいけない。

2009年8月31日 (月)

補助線

数学、図形の証明問題において、出題時には明示されなかった線を、回答者が引く場合がある。これを補助線という。舐めたモンではない。効果的な補助線一本で景色がガラリと変わる場合がある。補助線を思いつくかどうかで明暗が分かれる場合も少なくない。補助線の存在を、いかに悟らせないかが出題者側の肝だったりもする。

ブラームスの創作を概観する立場から見れば「オペラ」はまさに補助線だ。

ブラームスはオペラを遺していない。だから作品一覧をいくら眺めてもオペラは出てこない。ブラームスについて論述した書物やサイトにもオペラは現れにくい。しからばブラームスがオペラを知らなかったかとなると、これがとんでもない話だ。少々詳しい伝記を読めば、大変な関心を持っていたことが判明する。大いに関心を持っていたどころか、オペラを書きたいと心から欲していたことさえ明らかになる。心から欲していながら書けなかったのだ。それを称してブラームスは「オペラの創作」を結婚になぞらえているほどだ。

それでいてなお、結果としてオペラが書かれなかったことが重要なのだ。オペラは書かれなかったことに意味がある。ブラームス作品に影響を及ぼしたというならシューマン夫妻やバッハがその筆頭格だ。けれども彼らは補助線とは言えない。作品の上に直接間接に痕跡が残り過ぎているからだ。

仮にワーグナー関連記事に的を絞ったブログがあったとしよう。そこの管理人氏は、カテゴリー「交響曲」を設置しようと試みるだろうか。あるいはワーグナー作品を概観する立場から「交響曲」が補助線と言えるだろうか。結論から申せばそれらは「No」だ。

ブラームスに限らず作品論は遺された作品を整理概観することで成り立つ。これはお約束だ。同時にここが盲点にもなる。現に謝恩クイズはこの盲点をついたものだ。関心の高さにもかかわらず作品が遺されていない裏には、作曲家ブラームスの葛藤が隠れているに違いない。

オペラはまさに補助線だ。作曲家ブラームスへの理解が一段と深まる。          

2009年5月29日 (金)

四色問題

「地図の塗り分けには4色あれば事足りる」ということは、19世紀の地図業者の間では経験的に知られていたらしい。やがてこれが数学の問題に置き換えられたが、なかなかの難問で、20世紀も後半になってコンピュータの力を借りて解決したという。インキの数はつまり版の数だから、地図屋にとってはコストである。早い話が死活問題だったのだ。

5月25日の記事「色彩索引」でブラームスの歌曲に登場する色をリスト化した。その過程で面白いことがわかった。同じ色が複数回登場しても1とカウントする限り、ブラームス歌曲において1つの作品に登場する色名は最大で4だ。5色が登場する作品は無い。4色の登場は下記の2作に限られる。

<夏の宵op85-1>

  1. grun Wiesen  緑の草原
  2. goldner Mond   黄金色の月
  3. blauen Himmel 青い空
  4. weiss Nacken 白いうなじ

最初の3つまでは夏の宵の情景描写だが、最後の白いうなじは、小川のほとりで水浴する妖精である。鮮やかなコントラストだ。さすがはハイネである。

<野のさびしさop86-2>

  1. grunen Grass 緑の草
  2. blaue Himmel  青い空
  3. weissen Wolken  白い雲
  4. tiefeblau Raume  群青の空

これも最初の3つは情景の描写。アルマースのテキストだ。緑の草に囲まれて青い空と白い雲を仰ぎ見る作者がいる。最後のRaumeは、行きがかり上「空」という訳語を当てているが実質的に「宇宙」に近い。筆者の魂がこの世を去って渡り行く先の描写だ。ブラームスの絶妙の和音使いとも相俟って有無を言わせぬ説得力を醸しだす。まさに世界遺産級だ。

ところが民謡になると話が変わる。「ばら色のくちびるWoO33-25」には5色が現われる。

  1. rosen Mund ばら色のくちびる
  2. schwarzbraun Magdelein 褐色の髪
  3. morgenrot Wangen 朝焼け色の頬
  4. schwarz Augen 黒い瞳
  5. blau Himmel 青い空

申すまでもない。恋人の美しさを男の側から歌ったテキストだ。Magdeleinは直訳すると乙女だが、彼女の髪の色の描写だ。その結果「くちびる」「髪」「ほほ」「瞳」最初の4つ全てが恋人のパーツだ。これらそれぞれに象徴的な色をあてることで、鮮やかな色彩感を獲得している。民謡だからもちろん作詞者不詳だが、ハイネやアルマースに勝るとも劣らない絶妙の色彩感覚。「朝焼け色」(morgenrot)には降参である。

ブラームスの四色問題。

2009年2月 9日 (月)

共通の話題

子供が成長して来ると共通の話題に事欠くようになってくる。毎日帰宅すると3人の子供が入れ替わり立ち替わりまとわりついてきた頃が懐かしい。あの頃もっと遊んでおけば良かった。

幸い私は3人の子供と共通の話題を持つことには、かろうじで成功している。

長男との共通の話題は何と申してもサッカーだ。日本代表よりもJリーグだ。この季節順位予想にも熱が入る。それから雑学クイズにも何かと詳しい。これも共通の話題だ。オタクな問題を見つけてきては、「それでは問題」と不意打ちを仕掛けてくる。

続いて長女。困ったことに数学だ。受験勉強まっただ中で話題が見つけにくいところではあるが、数学の難問に遭遇した時自分から訊いて来る。私に似て数学が苦手なことが幸いしている。証明問題1つに親子揃ってウンウンと唸っている。やっとの思いで解けた時の喜びは格別だ。

次女。嬉しいことに共通の話題が音楽になりつつある。幼い頃から習っているヴァイオリンに続いてブラバンでトロンボーンを始めたことがその理由だ。音楽系の質問が増えて、それをキッカケに会話が弾むことが多い。ブラームスが共通の話題になることがあるとすれば、その相手は次女である可能性がもっとも高い。

2008年8月 5日 (火)

数列

高校でこれを習うころから数学嫌いがエスカレートした記憶がある。

一定の法則にのっとった整数の羅列とでもしておく。等比数列、等差数列という言い回しをよく耳にした。

遊びでなら私も創作数列を試みている。名付けて「ブラーム数列」だ。

たとえば「68→73→90→98」である。交響曲とでも名付け得るこの数列が、長寿の祝いにピッタリだということは7月27日の記事「ブラ2寿」で述べたばかりだ。

  • 協奏曲数列 15→77→83→102
  • ソナタ数列  1→2→5→38→78→99→100→108→120
  • トリオ数列  8→40→87→101→114
  • 変奏曲数列 9→21→23→24→35→56
  • セレナーデ数列 11→16→58→70→84→106
  • 3楽章数列 15→38→77→78→83→88→100→102→120(恥ずかしながら訂正)

いくらでも思いつく。こうして眺めると交響曲数列のように長寿の祝いに相応しい数列など、そうそう転がっている代物ではないということがお判りいただけると思う。

2008年4月21日 (月)

交換法則

中学校の数学で習う。足し算またはかけ算の場合、順番を入れ替えても答えは同じになるという法則だ。「4かける3」と「3かける4」どちらも答えは12になる。これを学問めかしていうと交換法則という訳である。

ブラームスの作品の中に「4×3=3×4」を実感させてくれる箇所がある。

本日ばかりは譜例がないと厳しいといいつつ強行突破である。

ピアノソナタ第2番の楽譜があれば開いて欲しい。4分の3拍子の第1楽章だ。定義によれば4分の3拍子は、つまり1小節に4分音符が3個だから、16分音符ならば4×3で12個だ。4分の3拍子と言われれば誰しも「16分音符ならば12個」とたちまち暗算が可能である。ブラームスとて例外ではない。問題のピアノソナタ第2番第1楽章においてブラームスは16分音符が12個という事実を切り口に交換法則を証明する。

冒頭部フォルテシモで16分音符の和音が打ち鳴らされた後16分音符2個分の休みの後、「A-H-Cis」と「Fis-Gis-A」という具合に音階にそって3段階上行する音型が強調される。ここでは16分音符3つでグルーピングされている。楽譜を見ずに演奏だけを聴くと16分音符が3個一組のフレーズに聞こえる。この音階状に上行する3音のモチーフは第1楽章の冒頭付近で微妙に音価を変えながら執拗に繰り返される他、第2と第3の両楽章の冒頭でも出現し、このソナタ全体を括るモチーフの役割をになっている。だから16分音符3個一組に聞こえることは必然でさえある。つまり「3×4」の表明だ。

でありながら、一方でブラームスは3拍目の四分音符にアクセントを付与している。このアクセントは明らかに「4×3」に由来する痕跡である。「12個の16分音符」を軸足に「4×3」と「3×4」の境界付近で行きつ戻りつを楽しんでいる。3小節目から4小節間は「4×3」に戻っているものの、7小節目から怪しくなり9小節目でまたどっちつかずとなる。

演奏者のリズム感に挑戦するかのようであるが、その意図は明確だ。上行する3連音の強調に他なるまい。

2008年2月29日 (金)

うるう年

ブログ「ブラームスの辞書」開設後はじめての2月29日だ。うるう年だけに存在する。

うるう年は地球の自転周期を24時間、公転周期を1年と決めてしまっていることで堆積する誤差のリセットとでも言うのだろうか。

うるう年だけ1年の日数が366日となる。じつはこの「366」という数字は私のようなブラームス好きにとっては、趣の深い数だ。ブラームスの作品番号付きの作品数122のちょうど3倍になるのだ。

この「366」は因数分解すると「6*61」になる。「61」という半端な数はブラームス好みである。この半端な数に最初の完全数「6」を乗じたのが366なのだ。さらに言うと「61」はブラームスに縁が深い。「BRAHMS」というおなじみのスペルを数字に置き換える。「B」はアルファベットの2番目だから「2」、「R」は18という要領だ。すると「2+18+1+8+13+19」となる。これが何と61になる。アルファベットの数が6個で合計が61ということだ。これが「6*61」と呼応しているように見える。

バッハはこの手の数遊びが好きで「BACH」を数に換算した「14」を愛していたとも言われている。

一年を61日単位の1月に区切った、私年号「ブラームス暦」でも考案しようかと真剣に考えたこともある。

昨日、シートベルト着用のサインが消えた。そういう翌日にこそ、この手のおバカな話を発信する必要がある。昨日の記事がネタ切れの言い訳だと思われてはならない。「やっぱり目が離せない」と思われるようあの手この手である。

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